2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 试证：(Ⅰ)存在，使f(η)=η； (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 试证：(Ⅰ)存在，使f(η)=η； (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．

admin2019-07-28  29
问题 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且
       
试证：(Ⅰ)存在，使f(η)=η；
     (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．
选项
答案(Ⅰ)只需作出辅助函数φ(x)=f(x)一x，利用介值定理证之； (Ⅱ)对于中值等式f′(ξ)一λf(ξ)=0，常作辅助函数F(x)一f(x)e-λx证之．将待证等式右边的1看成ξ′，则待证等式可化为 f′(ξ)一ξ′一λ[f(ξ)一ξ]=[f(ξ)一ξ]′一λ[f(ξ)一ξ]． 于是易想到作辅助函数 F(x)=e-λx[f(x)一x]， 利用罗尔定理证之． 证 (Ⅰ)令φ(x)=f(x)一x．则φ(x)在[0，1]上连续，又 [*] 故由介值定理知，存在[*]，使得 φ(η)一f(η)一η=0， 即f(η)=η． (Ⅱ)设 F(x)=e-λxφ(x)=e-λx[f(x)一x]， 则F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且 F(0)=0，F(η)=e-ληφ(η)=0， 即F(x)在[0，η]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0，η)，使得F′(ξ)=0，即 e-λξ{f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]一1)=0， 从而 f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．
解析
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考研数学二

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