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  3. 设函数f(x)在[0,π]上连续，且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,试证明：在(0,π）内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0.

设函数f(x)在[0,π]上连续，且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,试证明：在(0,π）内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0.

admin2022-09-05  121
问题 设函数f(x)在[0,π]上连续，且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,试证明：在(0,π）内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0.
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，则易知F(x)可导且F(0)=F(π)=0,又 0=∫0πf(x)cosxdx=|0πcosxdF(x)=F(x)cosx∫0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx 所以存在ξ∈(0,π），使得F(ξ)sinξ=0.因为若不然，F(x)sinx在(0,π)内恒正或恒负，均与∫0πF(x)sinxdx=0矛盾，又当ξ∈(0,π)时,sinξ＞0,所以F(ξ)=0.故F(x)在[0,π]上至少有三个不同的根，x=0,x=ξ,x=π 对F(x)在[0,ξ],[ξ,π],上分别应用罗尔定理,则存在点ξ∈(0,ξ),使F’(ξ)=f(ξ1)=0； 存在ξ2∈(ξ,π),使F’(ξ2)=f(ξ2)=0.
解析
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考研数学三

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