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设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程,并求函数y(x)的极值.
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程,并求函数y(x)的极值.
admin
2019-11-25
123
问题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为
,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程,并求函数y(x)的极值.
选项
答案
因为曲线是上凸的,所以y”<0,由题设得 [*]=-1. 令y’=p,y”=[*],则有[*]=-(1+p
)[*]arctanp=C
1
-x. 因为曲线y=y(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,所以P|
x=0
=1, 从而y’=tan([*]-x),积分得y=ln|cos([*]-x)|+C
2
. 因为曲线过点(0,1),所以C
2
=1+[*], 所求曲线为y=lncos([*]-x)+1+[*],x∈(-[*]). 因为cos([*]-x)≤1,所以当x=[*]时函数取得极大值1+[*].
解析
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考研数学三
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