设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

admin2019-11-25 54

问题设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为

，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

选项

答案因为曲线是上凸的，所以y”＜0，由题设得 [*]＝－1．令y’＝p，y”＝[*]，则有[*]＝－(1＋p)[*]arctanp＝C₁－x．因为曲线y＝y(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，所以P｜_x＝0＝1，从而y’＝tan([*]－x)，积分得y＝ln｜cos([*]－x)｜＋C₂．因为曲线过点(0，1)，所以C₂＝1＋[*]，所求曲线为y＝lncos([*]－x)＋1＋[*]，x∈(－[*])．因为cos([*]－x)≤1，所以当x＝[*]时函数取得极大值1＋[*]．

解析

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考研数学三

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设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

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