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设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx.
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx.
admin
2019-09-04
59
问题
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫
a
ξ
f(x)dx=∫
ξ
b
f(x)dx.
选项
答案
令g(x)=∫
a
x
f(t)dt-∫
x
b
f(t)dt, 因为f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0, 所以g(a)=-∫
a
b
f(t)dt<0,g(b)=∫
a
b
f(t)dt>0, 由零点定理,存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即∫
a
ξ
f(x)dx=∫
ξ
b
f(x)dx.
解析
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考研数学三
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