2. 考研
  3. 设矩阵A=相似于对角矩阵． (1)求a的值； (2)求一个正交变换．将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

设矩阵A=相似于对角矩阵． (1)求a的值； (2)求一个正交变换．将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

admin2019-01-13  58
问题 设矩阵A=相似于对角矩阵．
(1)求a的值；
(2)求一个正交变换．将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．
选项
答案(1)A的特征值为6，6，-2，故由A可相似对角化知矩阵6E-A=[*]的秩为1，[*]a=0． (2)f=xTAx=(xTAx)T=xTATx=[*](xTAx+xTATx)=xT[*]x．故f的矩阵为[*](A+AT)=[*]=B，计算可得B的特征值为λ1=6，λ2=3，λ3=7，对应的特征向量分别可取为ξ1=(0，0，1)T，ξ2=(1，-1，0)T，ξ3=(1，1，0)T，故有正交矩阵 [*] 使得P-1BP=PTBP=diag(6，-3，7)，所以，在正交变换[*]下，可化f成标准形f=6y12-3y22+7y32．
解析
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考研数学二

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