设矩阵A=相似于对角矩阵． (1)求a的值； (2)求一个正交变换．将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

admin2019-01-13 32

问题设矩阵A=

相似于对角矩阵．
(1)求a的值；
(2)求一个正交变换．将二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx化为标准形，其中x=(x₁，x₂，x₃)^T．

选项

答案(1)A的特征值为6，6，-2，故由A可相似对角化知矩阵6E-A=[*]的秩为1，[*]a=0． (2)f=x^TAx=(x^TAx)^T=x^TA^Tx=[*](x^TAx+x^TA^Tx)=x^T[*]x．故f的矩阵为[*](A+A^T)=[*]=B，计算可得B的特征值为λ₁=6，λ₂=3，λ₃=7，对应的特征向量分别可取为ξ₁=(0，0，1)^T，ξ₂=(1，-1，0)^T，ξ₃=(1，1，0)^T，故有正交矩阵 [*] 使得P^-1BP=P^TBP=diag(6，-3，7)，所以，在正交变换[*]下，可化f成标准形f=6y₁²-3y₂²+7y₃²．

解析

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考研数学二

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