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设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f″(x)≥0,φ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫abφ(x)dx=1.证明:∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f″(x)≥0,φ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫abφ(x)dx=1.证明:∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].
admin
2022-08-19
39
问题
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f″(x)≥0,φ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫
a
b
φ(x)dx=1.证明:∫
a
b
f(x)φ(x)dx≥f[∫
a
b
xφ(x)dx].
选项
答案
因为f″(x)≥0,所以有f(x)≥f(x
0
)+f′(x
0
)(x-x
0
). 取x
0
=∫
a
b
xφ(x)dx,因为φ(x)≥0,所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x),又∫
a
b
φ(x)dx=1, 于是有a≤∫
a
b
xφ(x)dx=x
0
≤b. 将x
0
=∫
a
b
xφ(x)dx代入f(x)≥f(x
0
)+f′(x
0
)(x-x
0
)中,再由φ(x)≥0,得 f(x)φ(x)≥f(x
0
)φ(x)+f′(x
0
)[xφ(x)-x
0
φ(x)], 上述不等式两边再在区间[a,b]上积分,得∫
a
b
f(x)φ(x)dx≥f[∫
a
b
xφ(x)dx].
解析
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考研数学三
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