2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f″(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1.证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f″(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1.证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].

admin2022-08-19  52
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f″(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1.证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].
选项
答案因为f″(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0). 取x0=∫abxφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1， 于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b. 将x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)中，再由φ(x)≥0，得 f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f′(x0)[xφ(x)-x0φ(x)]， 上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].
解析
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考研数学三

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