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设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,试求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角形矩阵.
设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,试求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角形矩阵.
admin
2017-10-19
67
问题
设矩阵
已知A有3个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,试求可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角形矩阵.
选项
答案
因为矩阵A有3个线性无关的特征向量,而λ=2是其二重特征值,故λ=2必有2个线性无 关的特征向量,因此(2E-A)x=0的基础解系由2个解向量所构成.于是r(2E-A)=1.由 [*] 那么,矩阵[*]由此,得矩阵A的特征多项式为 [*]=(λ-2)
2
(λ-6), 于是得到矩阵A的特征值:λ
1
=λ
2
=2,
3
=6. λ=2,(2E-A)x=0,[*] 得到相应的特征向量为α
1
(1,-1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
. 对λ=6,由(6E-A)x=0,[*] 得到相应的特征向量为α
3
=(1,-2,3)
T
. 那么, 令P=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*], 有P
-1
AP=A=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5pH4777K
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考研数学三
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