设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角形矩阵．

admin2017-10-19 49

问题设矩阵

已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角形矩阵．

选项

答案因为矩阵A有3个线性无关的特征向量，而λ=2是其二重特征值，故λ=2必有2个线性无关的特征向量，因此(2E-A)x=0的基础解系由2个解向量所构成．于是r(2E-A)=1．由 [*] 那么，矩阵[*]由此，得矩阵A的特征多项式为 [*]=(λ-2)²(λ-6)，于是得到矩阵A的特征值：λ₁=λ₂=2，₃=6． λ=2，(2E-A)x=0，[*] 得到相应的特征向量为α₁(1，-1，0)^T，α₂=(1，0，1)^T．对λ=6，由(6E-A)x=0，[*] 得到相应的特征向量为α₃=(1，-2，3)^T．那么，令P=(α₁，α₂,α₃)=[*]，有P^-1AP=A=[*]

解析

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考研数学三

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