设D＝为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中P＝，(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B－CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2020-03-16 77

问题设D＝

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
(1)计算P^TDP，其中P＝

，(E_k为k阶单位矩阵)；
(2)利用(1)的结果判断矩阵B－C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案(1)p^TDP＝[*]； (2)矩阵B－C^TAC是正定矩阵．证明：由(1)知D合同于矩阵M＝[*]，又D为正定矩阵，所以M为正定矩阵．因M为对称矩阵，故B－C^TA^-1C为对称矩阵．由M正定，知对m维零向量χ＝(0，0，…，0)^T及任意的n维非零向量y＝(y₁，y₂，…，y_n)^T，有 [*] 故对称矩阵B＝C^TA^-1C为正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设D＝为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中P＝，(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B－CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

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