设fn(x)=1-(1-cosx)n，求证：对于任意Ⅱ：整数n，fn(x)=中仅有一根；

admin2016-07-22 74

问题设f_n(x)=1-(1-cosx)_n，求证：
对于任意Ⅱ：整数n，f_n(x)=

中仅有一根；

选项

答案因为f_n(x)连续，又有f_n(0)=1，[*]，所以由介值定理知[*]，使得f_n(ξ)=[*]又因为f’_n(x)=-n(1-cosx)^n-1sinx＜0，x∈[*]内严格单调减少．因此，满足方程f_n(x)=[*]的根ξ是唯一的，即f_n(x)=[*]中仅有一根．

解析

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考研数学一

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