设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得

admin2021-11-09 43

问题设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，

存在．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；
(2)证明：存在ξ₁，ξ₂∈[-a，a]，使得

选项

答案(1)由[*]存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f’(0)=0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=[*]x⁴，其中ξ介于0与x之间． (2)上式两边积分得∫_-a^af(x)dx=[*]∫_-a^a(ξ)x⁴dx．因为f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴，两边在[-a，a]上积分得[*]a⁵≤∫_-a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤[*]a⁵，从而[*]∫_-a^a≤[*]≤∫_-a^-af(x)dx≤[*] 于是m≤[*]∫_-a^af(c)dx≤M，根据介值定理，存在ξ₁∈[-a，a]，使得f⁽⁴⁾(ξ₁)=[*]∫_-a^af(x)dx，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ)=60∫_-a^af(x)dx. 再由积分中值定理，存在ξ₂∈[-a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_-a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)．

解析

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考研数学二

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