2. 考研
  3. 设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得

设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得

admin2021-11-09  69
问题 设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；
(2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得
选项
答案(1)由[*]存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f’(0)=0， 则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=[*]x4，其中ξ介于0与x之间． (2)上式两边积分得∫-aaf(x)dx=[*]∫-aa(ξ)x4dx． 因为f(4)(x)在[-a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4， 两边在[-a，a]上积分得[*]a5≤∫-aaf(4)(ξ)x4dx≤[*]a5， 从而[*]∫-aa≤[*]≤∫-a-af(x)dx≤[*] 于是m≤[*]∫-aaf(c)dx≤M， 根据介值定理，存在ξ1∈[-a，a]，使得f(4)(ξ1)=[*]∫-aaf(x)dx，或a5f(4)(ξ)=60∫-aaf(x)dx. 再由积分中值定理，存在ξ2∈[-a，a]，使得 a5f(4)(ξ1)=60∫-aaf(x)dx=120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．
解析
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考研数学二

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