设三角形三边的长分别为a，b，c，此三角形的面积设为S，求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离．

admin2019-08-27 87

问题设三角形三边的长分别为a，b，c，此三角形的面积设为S，求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离．

选项

答案设P为三角形内的任意一点，该点到边长分别为a，b，c的边距离分别为x，y，z．由三角形的面积公式，有 [*] 求f=xyz在约束条件ax+by+cz-2S=0下的最大值，构造拉格朗日函数，令 [*] 由 [*] 解得唯一驻点为x=2S/3a，y=2S/3b，z=2S/3c，显然，当P位于三角形的边界上时，f=0，为最小值；当P位于三角形内部时，f存在最大值，由于驻点唯一，故当x=2S/3a，y=2S/3b，z=2S/3c时，f最大， [*]

解析【思路探索】由题设条件构造出拉格朗日函数，再求出极值即可．

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考研数学二

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