A是m×n矩阵,线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( ).

admin2020-03-15  63

问题 A是m×n矩阵,线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是(     ).

选项 A、m一n且|A|≠0
B、导出组AX=0有且仅有零解
C、A的列向量组α1 ,α2 ,…,αn与α1 ,α2 ,…,αn ,b等价
D、r(A)=n,且b可由A的列向量组线性表出

答案D

解析 利用A=b有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A|b)=n去判别.
当m=n时,必有

因而必有解.又|A|≠0,即m=n=r(A),则AX=b必有唯一解,这也可由克拉默法则得知.但并不必要,当m≠n时,方程组也可能有唯一解.例如

AX=b有唯一解.(C)是AX=b有唯一解的必要条件,并非充分条件,即两个向量组α1 ,α2 ,…,αn与α1 ,α2 ,…,αn ,b等价是方程组AX=b有解的充要条件,是有唯一解的必要条件,例如AX=b有解,但解不唯一.(B)是AX=b有唯一解的必要条件,并非充分条件.因这时不能保证r(A)=r(A|b).如
AX=0有非零解,则AX=b必没有唯一解,它可能有无穷多解,亦可能无解,当AX=0只有零解时,AX=b可能有唯一解,也可能无解,并不能保证必有唯一解.例如

AX=0仅有零解,而AX=b并无解.(D)秩r(A)=n表明A的列向量组线性无关,因而如AX=b有解,则解必唯一.仅r(A)=n还不能保证,因而不能保证AX=b有解(参见(B)中反例),b可由A的列向量组线性表出是AX=b有解的充要条件,这两个条件结合才能保证

因而它们才是AX=b有唯一解的充要条件,仅(D)入选。
注意(B)、(C)均是必要条件,前者不能保证r(A)=,因而不能保证AX=b必有解,后者不能保证AX=b的解唯一.A的列向量线性相关,AX=b绝对没有唯一解,列向量组线性无关最多有唯一解.
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