设A=,求A的特征值与特征向量,并判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求出可逆矩阵P及对角阵.

admin2019-11-25  32

问题 设A=,求A的特征值与特征向量,并判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求出可逆矩阵P及对角阵.

选项

答案|λE-A|=[*]=(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0,得矩阵A的特征值为λ1=1-a,λ2=a,λ3=1+a. (1)当1-a≠a,1-a≠1+a,a≠1+a,即a≠0且a≠[*]时,因为矩阵A有三个不 同的特征值,所以A一定可以对角化. λ1=1-a时,由[(1-a)E-A]X=0得ξ1=[*]; λ2=a时,由(aE-A)X=0得ξ2=[*]; λ3=1+a时,由[(1+a)E-A]X=0得ξ3=[*]. 令P=[*],得P-1AP=[*]. (2)当a=0时,λ1=λ3=1, 因为r(E-A)=2,所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量, 故矩阵A不可以对角化. (3)当a=[*]时,λ1=λ2=[*], 因为r([*]E-A)=2,所以方程组([*]E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量,故A不可以对角化.

解析
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