设A＝，求A的特征值与特征向量，并判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

admin2019-11-25 67

问题设A＝

，求A的特征值与特征向量，并判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

选项

答案｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋a－1)(λ－a)(λ－a－1)＝0，得矩阵A的特征值为λ₁＝1－a，λ₂＝a，λ₃＝1＋a． (1)当1－a≠a，1－a≠1＋a，a≠1＋a，即a≠0且a≠[*]时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化． λ₁＝1－a时，由[(1－a)E－A]X＝0得ξ₁＝[*]； λ₂＝a时，由(aE－A)X＝0得ξ₂＝[*]； λ₃＝1＋a时，由[(1＋a)E－A]X＝0得ξ₃＝[*]．令P＝[*]，得P^－1AP＝[*]． (2)当a＝0时，λ₁＝λ₃＝1，因为r(E－A)＝2，所以方程组(E－A)X＝0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化． (3)当a＝[*]时，λ₁＝λ₂＝[*]，因为r([*]E－A)＝2，所以方程组([*]E－A)X＝0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．

解析

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考研数学三

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