2. 考研
  3. 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )

设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )

admin2021-01-25  64
问题 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是(    )
选项 A、AT与BT相似．
B、A－1与B－1相似．
C、A+AT与B+BT相似．
D、A+A－1与B+B－1相似．
答案C
解析 1 由已知条件知，存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B……(1)．
由(1)两端取转置，得PTAT(PT)－1=BT，可见AT与BT相似，因此选项A正确；
由(1)两端取逆矩阵，得P－1A－1P=B－1……(2)，可见A－1与B－1相似，因此选项B正确；
将(1)与(2)相加，得P－1(A+A－1)P=B+B－1，可见A+A－1与B+B－1相似，因此选项D正确．故只有选项C错误．
2 可以举例来说明选项C错误：令矩阵

计算可得矩阵A+AT=的特征值是1和3；
而矩阵B+BT=的特征值是7和－3，
由于相似矩阵有相同的特征值，所以A+AT与B+BT不相似，故选C．
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考研数学三

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