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[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数,则必为概率密度的是( ).
[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数,则必为概率密度的是( ).
admin
2019-04-15
49
问题
[2011年] 设F
1
(x)与F
2
(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f
1
(x)与f
2
(x)是连续函数,则必为概率密度的是( ).
选项
A、f
1
(x)f
2
(x)
B、2f
2
(x)F
1
(x)
C、f
1
(x)F
2
(x)
D、f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)
答案
D
解析
解一 因f
1
(x),f
2
(x),F
1
(x),F
2
(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数,故f
1
(x)≥0,f
2
(x)≥0,0≤F
1
(x)≤1,0≤F
2
(x)≤1,所以f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)≥0.而
故f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)为概率密度.仅(D)入选.
解二 由题设有
则
f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)=F
1
’(x)F
2
(x)+F
1
(x)F
2
’(x)=(F
1
(x)F
2
(x))’.
因F
1
(x)F
2
(x)为随机变量max{X
1
,X
2
)的分布函数(见命题3.2.1.2),故其导数f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)必为随机变量max{X
1
,X
2
}的概率密度.仅(D)入选.
注:命题3.2.1.2 若F
1
(x),F
2
(x),…,F
n
(x)分别是随机变量X
1
,X
2
,…,X
n
的分布函
数,则
也是分布函数,且是随机变量max{X
1
,X
2
,…,X
2
)的分布函数.
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考研数学三
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