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[2005年] 已知齐次线性方程组(I)与方程组(Ⅱ)同解，求a，b，c的值．

admin2019-04-15  54
问题 [2005年]  已知齐次线性方程组(I)与方程组(Ⅱ)同解，求a，b，c的值．
选项
答案解一 方程组(Ⅱ)的未知数的个数大于方程的个数，故必有无穷多解，因而必有基础解系．于是方程组(I)也有无穷多解，则方程组(I)的系数矩阵的秩必小于3．由此可确定a．而方程组(I)的系数矩阵 [*] 因秩(A)＜3，从而a=2，且α=[1，－1，1]T为方程组(I)的一个基础解系．它当然也是方程组(Ⅱ)的解．将x1=－1，x2=－1，x3=1代入方程组(Ⅱ)可求得b=1，c=2或b=0，c=1． 当b=1，c=2时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵化为[*]其基础解系也只含一个解向量α=[－1，－1，1]T，故方程组(I)与(Ⅱ)同解． 当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可化为[*]其基础解系含两个解向量，方程组(I)与(Ⅱ)的解不同，因而它们不同解． 因而当a=2，b=1，c=2时，两方程组同解，故所求的常数为a=2，b=1，c=2． 解二 因方程组(I)与(Ⅱ)同解，而方程组(Ⅱ)有无穷多组，故方程组(I)也有无穷多组解，则方程组(I)与(Ⅱ)的联立方程组 [*] 也必有无穷多组解．因而其系数矩阵A的秩必小于等于2，而用初等行变换化A为阶梯形，得到 [*] 由式①得到a=2，解式②与式③得到b(1-b)=0，故b=1或b=1．当b=1时，有c=2；当b=0时，c=1． 上面由方程组(Ⅲ)有无穷多解求出了参数a，b，c的取值，但这些取值能否保证两方程组同解，还要加以判别．事实上，当a=2，b=1，c=2时，方程组(I)的基础解系为[-1，－1，1]T．而对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施行初等行变换，有 [*] 显然，它也有相同的基础解系[－1，－1，1]T，故方程组(I)与(Ⅱ)同解，但当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可由初等行变换化为 [*] 显然，其基础解系为α1=[0，1，0]T，α2=[－1，0，1]T与方程组(I)的不同，所以它们不同解．
解析
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考研数学三

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