证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根；

admin2019-05-11 53

问题证明方程xⁿ+x^n-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间

内有且仅有一个实根；

选项

答案根据题意，令f(x)=xⁿ+x^n-1+…+x一1，则f(1)＞0，又[*]结合零点定理可得,f(x)=xⁿ+x^n-1+…+x一1在[*]内至少存在一个零点，即方程xⁿ+xⁿ⁺¹+…+x=1在区间[*]内至少有一个实根。又因为f(x)=xⁿ+x^n-1+…+x一1在[*]上是单调的，可知f(x)=xⁿ+x^n-1+…+x一1在[*]内最多只有一个零点。综上所述，方程xⁿ+x^n-1+…+x=1在区间[*]内有且仅有一个实根。

解析

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