设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B，其中用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

admin2020-03-05 35

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+4x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃的矩阵A满足AB=B，其中

用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

选项

答案由AB=B知，矩阵B的每一列α_i满足Aα_i=α_i(i=1，2，3)．显然B的第1，2列 [*] 线性无关，所以λ=1是矩阵A的特征值(至少是二重)，α₁，α₂是λ=1的线性无关的特征向量．根据1+1+λ₃=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ₃=4．因此，矩阵A的特征值是1，1，4．设λ₃=4的特征向量为α₃=(x₂，x₁，x₃)^T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 [*] 解出α₃=(1，2，－1)^T．对α₁，α₂正交化，令β₁=α₁=(1，0，1)^T，则 β₂=α₂－[*]= (1，－1，－1) ^T．再对β₁，β₂，α₃单位化，得 [*] 令Q=[η₁，η₂η₃]，则由正交变换x=Qy，二次型可化为标准形f=y₁² +y₂² +4y₃² ．

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B，其中用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

考研数学一

已知事件A发生必导致B发生，且0＜P(B)＜1，则P(A|)=()

已知η1，η2，η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是

AX＝0和BX＝0都是n元方程组，下列断言正确的是()．

设f(x)连续，且f(x)=1，a为常数，则∫xx+af(t)dt=______．

设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随σ的增大，概率P{|X一μ|＜σ}应该()

将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是()

产品寿命X是一个随机变量，其分布函数与概率密度分别为F(x)，f(x)．产品已工作到时刻x，在时刻x后的单位时间△x内发生失效的概率称为产品在时刻z的瞬时失效率，记为λ(x)．证明

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．

计算三重积分I=(x2+y2+z2)dV，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，x2+y2+z2≤4z}．

对于节流压井管汇上的手动平板阀，平板阀到位后均应回转1／4～1／2圈。()

A．圆三角形B．窄长形C．卵圆三角形D．葫芦形E．方形上颌尖牙根颈部横切面形态是

A县造纸厂生产过程中产生的污水大量涌人河道，导致河道附近的庄稼大面积死亡，对此造成的损失，A县造纸厂可以以()理由主张免责。

下面主要受液膜控制的过程有(　　)。

银行的个人贷款的客户年龄应当在()周岁。

在运用审计抽样实施控制测试时，下列各项因素中，不影响样本规模的是()。(2020年网络回忆版)

在数据库系统中，视图是一个(54)。

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