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设二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B,其中 用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B,其中 用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.
admin
2020-03-05
27
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+4x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
的矩阵A满足AB=B,其中
用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.
选项
答案
由AB=B知,矩阵B的每一列α
i
满足Aα
i
=α
i
(i=1,2,3).显然B的第1,2列 [*] 线性无关,所以λ=1是矩阵A的特征值(至少是二重),α
1
,α
2
是λ=1的线性无关的特征向量.根据1+1+λ
3
=1+4+1,故知矩阵A有特征值λ
3
=4.因此,矩阵A的特征值是1,1,4. 设λ
3
=4的特征向量为α
3
=(x
2
,x
1
,x
3
)
T
,那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,有 [*] 解出α
3
=(1,2,-1)
T
. 对α
1
,α
2
正交化,令β
1
=α
1
=(1,0,1)
T
,则 β
2
=α
2
-[*]= (1,-1,-1)
T
. 再对β
1
,β
2
,α
3
单位化,得 [*] 令Q=[η
1
,η
2
η
3
],则由正交变换x=Qy,二次型可化为标准形f=y
1
2
+y
2
2
+4y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/U0S4777K
0
考研数学一
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