2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B，其中 用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B，其中 用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

admin2020-03-05  28
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B，其中

用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．
选项
答案由AB=B知，矩阵B的每一列αi满足Aαi=αi(i=1，2，3)．显然B的第1，2列 [*] 线性无关，所以λ=1是矩阵A的特征值(至少是二重)，α1，α2是λ=1的线性无关的特征向量．根据1+1+λ3=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ3=4．因此，矩阵A的特征值是1，1，4． 设λ3=4的特征向量为α3=(x2，x1，x3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 [*] 解出α3=(1，2，－1)T． 对α1，α2正交化，令β1=α1=(1，0，1)T，则 β2=α2－[*]= (1，－1，－1) T． 再对β1，β2，α3单位化，得 [*] 令Q=[η1，η2η3]，则由正交变换x=Qy，二次型可化为标准形f=y12 +y22 +4y32 ．
解析
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考研数学一

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