2. 考研
  3. 若函数f(x)在[0,1]上二阶可微，且f(0)=f(1)，｜f"(x)｜≤1，证明：｜f’(x)｜≤1/2在[0，1]上成立．

若函数f(x)在[0,1]上二阶可微，且f(0)=f(1)，｜f"(x)｜≤1，证明：｜f’(x)｜≤1/2在[0，1]上成立．

admin2022-06-30  57
问题 若函数f(x)在[0,1]上二阶可微，且f(0)=f(1)，｜f"(x)｜≤1，证明：｜f’(x)｜≤1/2在[0，1]上成立．
选项
答案由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f’(x)(0－x)+[*](0－x)2，其中ξ介于0与x之间； f(1)=f(x)+f’(x)(1－x)+[*](1－x)2，其中η介于1与x之间， 两式相减得f’(x)=[*](1－x)2 从而｜f’(x)｜≤[*](1－x)2≤1/2[x2+(1－x)2]， 由x2≤x，(1－x)2≤1－x得x2+(1－x)2≤1，故｜f’(x)｜≤1/2．
解析
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考研数学二

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