求函数f(x,y)=(x一6)2+(y+8)2在D={(x,y):x2+y2≤25}上的最大值、最小值.

admin2020-03-10  68

问题 求函数f(x,y)=(x一6)2+(y+8)2在D={(x,y):x2+y2≤25}上的最大值、最小值.

选项

答案由[*]=2(y+8)=0得x0=6,y0=一8, 而(x0,y0)不在D的内部,所以f(x,y)在D的内部没有极值,故它的最大、最小值一定在边界F:x2+y2=25上取到. 而在[*]上:f(x,y)=x2+y2一12x+16y+100=125—12x+16y. 令L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x2+y2一25), 由[*],得λ1=一2,x1=一3,y1=4或λ2=2,x2=3,y2=一4. 而f(x1,y1)=125+36+64=225,f(x2,y2)=125—36—64=25, 所以f(x,y)在D上的最大值(即在[*]上的最大值)为f(x1,y1)=225,f(x,y)在D上的最小值(即在[*]上的最小值)为f(x2,y2)=25.

解析
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