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求函数f(x,y)=(x一6)2+(y+8)2在D={(x,y):x2+y2≤25}上的最大值、最小值.
求函数f(x,y)=(x一6)2+(y+8)2在D={(x,y):x2+y2≤25}上的最大值、最小值.
admin
2020-03-10
96
问题
求函数f(x,y)=(x一6)
2
+(y+8)
2
在D={(x,y):x
2
+y
2
≤25}上的最大值、最小值.
选项
答案
由[*]=2(y+8)=0得x
0
=6,y
0
=一8, 而(x
0
,y
0
)不在D的内部,所以f(x,y)在D的内部没有极值,故它的最大、最小值一定在边界F:x
2
+y
2
=25上取到. 而在[*]上:f(x,y)=x
2
+y
2
一12x+16y+100=125—12x+16y. 令L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x
2
+y
2
一25), 由[*],得λ
1
=一2,x
1
=一3,y
1
=4或λ
2
=2,x
2
=3,y
2
=一4. 而f(x
1
,y
1
)=125+36+64=225,f(x
2
,y
2
)=125—36—64=25, 所以f(x,y)在D上的最大值(即在[*]上的最大值)为f(x
1
,y
1
)=225,f(x,y)在D上的最小值(即在[*]上的最小值)为f(x
2
,y
2
)=25.
解析
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0
考研数学三
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