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[2004] 设f(x)为连续函数,F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx,则F′(2)等于( ).
[2004] 设f(x)为连续函数,F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx,则F′(2)等于( ).
admin
2019-04-05
100
问题
[2004] 设f(x)为连续函数,F(t)=∫
1
t
dy∫
y
t
f(x)dx,则F′(2)等于( ).
选项
A、2f(2)
B、f(2)
C、一f(2)
D、0
答案
B
解析
调换积分次序,消除被积函数(内层积分)中的求导变量t,再求导.
解一 由于二次积分的内层积分与求导变量t有关,不能直接对其求导.应先交换积分次序,然后再求导.如图1.3.3.1所示,由原二次积分易求得其积分区域为
D={(x,y)∣1≤y≤x,y≤x≤t)
={(x,y)∣1≤x≤t,1≤y≤x}.
交换积分次序,得到
F (t)=∫
1
t
dy∫
y
t
f(x)dx=∫
1
t
dx∫
1
x
f(x)dy=∫
1
t
f(x)dx∫
1
x
dy
=∫
1
t
(x一1)f(x)dx,
因而F′(t)=f(t)(t一1),于是F′(2)=f(2).仅(B)入选.
解二 特别地,f(x)取具体函数f(x)=l满足题设的条件,则
F(t)=∫
1
t
dy∫
y
t
ldx=∫
1
t
(t-y)dy=一
(t-y)
2
∣
1
t
=
(1-t)
2
.
因而F′(t)=t-1,于是F′(2)=2—1=1=f(2).仅(B)入选.
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考研数学二
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