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设向量组α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )．
设向量组α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )．
admin
2020-09-25
60
问题
设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，而向量β
2
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则对于任意常数k，必有( )．
选项
A、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关
B、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性相关
C、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性无关
D、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
设kβ
1
+β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
，则β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
一kβ
1
，由于β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，从而可知存在常数k
1
，k
2
，k
3
使β
1
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
．所以
β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
一k(k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
)
=(l
1
一kk
1
)α
1
+(l
2
一kk
2
)α
2
+(l
3
一kk
3
)α
3
，
所以β
2
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，矛盾，从而α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关．
对向量组α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
，当k=0时线性相关，当k≠0时线性无关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6Px4777K
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考研数学三
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