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  3. 设f(x)≥0，f’’(x)＜0，对

设f(x)≥0，f’’(x)＜0，对

admin2019-02-26  19
问题 设f(x)≥0，f’’(x)＜0，对
选项
答案f(x)在t∈[a，b]上的一阶台劳公式为[*]ξ介于x与t之间． 因为f’’(s)≤0，所以f’’(ξ)≤0．于是，有f(x)≤f(t)+f’(t)(x一t)． 不等式两边在[a，b]上对t积分，得 (b一a)f(x)≤∫abf(t)dt+∫abf’(t)(x—t)dt =∫abf(t)dt+(x—t)f(t)｜ab+∫abf(t)dt = 2∫abf(t)dt+(x一b)f(b)一(x一a)f(a)． 所以， 2∫abf(t)dt≥(b一a)f(x)+(b一x)f(b)+(x一a)f(a)． 又f(x)≥0，f(a)≥0，f(b)≥0，x－a>0，b－x>0．所以，2∫abf(t)dt≥(b－a)f(x)，即[*]
解析 因f(x)二阶可导，可由台劳公式写出f(x)的表达式，并进行放缩，再利用定积分的性质证明．
已知f(x)具有二阶或二阶以上导数，且已知最高阶导数的符号和上界(或下界)的不等式证明问题，一般可先写出f(x)的台劳公式，再进行放缩．
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考研数学一

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