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设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
admin
2019-03-23
55
问题
设有齐次线性方程组
试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
选项
答案
方法一: 对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 [*] 当a=0时,r(A)=1<n,方程组有非零解,其同解方程组为 x
1
+x
2
+ … +x
n
=0, 由此得基础解系为 η
1
=(—1,1,0,…,0)
T
,η
2
=(—1,0,1,…,0)
T
,…,η
n—1
=(—1,0,0,…,1)
T
,于是方程组的通解为x=k
1
η
1
+…+k
n—1
η
n—1
,其中k
1
,…,k
n—1
为任意常数。 当a≠0时,对矩阵B作初等行变换,有 [*] 当a=[*]时,r(A)=n—1<n,方程组也有非零解,其同解方程组为 [*] 由此得基础解系为η=(1,2,…,n)
T
,于是方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数。 方法二:方程组的系数矩阵的行列式 [*] 当|A|=0,即a=0或a=[*]时,方程组有非零解。 当a=0时,对系数矩阵A作初等行变换,有 [*] 故方程组的同解方程组为 x
1
+x
2
+ … +x
n
=0, 由此得基础解系为 η
1
=(—1,1,0,…,0)
T
,η
2
=(—1,0,1,…,0)
T
,…,η
n—1
=(—1,0,0,…,1)
T
, 于是方程组的通解为 x=k
1
η
1
+ … +k
n—1
η
n—1
,其中k
1
,…,k
n—1
为任意常数。 当a=[*]时,对系数矩阵A作初等行变换,有 [*] 故方程组的同解方程组为 [*] 由此得基础解系为η=(1,2,…,n)
T
,于是方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数。
解析
本题主要考查含参数的齐次线性方程组的解法,以及其解的判定。
①齐次线性方程组解的判定:当R(A)=r<n时,Ax=0有非零解;当R(A)=r=n时,Ax=0只有零解。
②齐次线性方程组解的结构:设η
1
,η
2
,…,η
s
为齐次线性方程组Ax=0的一组线性无关解,如果方程组Ax=0任意一个解均可表示为η
1
,η
2
,…,η
s
的线性组合,则称η
1
,η
2
,…,η
s
为方程组Ax=0的一个基础解系。
另外,对于含有参数的齐次线性方程组的求解,初等变换法是最常用的方法,不论方程的个数与未知数的个数是否相同,均可使用此法。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6XV4777K
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考研数学二
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