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  3. 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

admin2019-03-23  49
问题 设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。
选项
答案方法一： 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 [*] 当a=0时，r(A)=1＜n，方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+ … +xn=0， 由此得基础解系为 η1=(—1，1，0，…，0)T，η2=(—1，0，1，…，0)T，…，ηn—1=(—1，0，0，…，1)T，于是方程组的通解为x=k1η1+…+kn—1ηn—1，其中k1，…，kn—1为任意常数。 当a≠0时，对矩阵B作初等行变换，有 [*] 当a=[*]时，r(A)=n—1＜n，方程组也有非零解，其同解方程组为 [*] 由此得基础解系为η=(1，2，…，n)T，于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数。 方法二：方程组的系数矩阵的行列式 [*] 当｜A｜=0，即a=0或a=[*]时，方程组有非零解。 当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有 [*] 故方程组的同解方程组为 x1+x2+ … +xn=0， 由此得基础解系为 η1=(—1，1，0，…，0)T，η2=(—1，0，1，…，0)T，…，ηn—1=(—1，0，0，…，1)T， 于是方程组的通解为 x=k1η1+ … +kn—1ηn—1，其中k1，…，kn—1为任意常数。 当a=[*]时，对系数矩阵A作初等行变换，有 [*] 故方程组的同解方程组为 [*] 由此得基础解系为η=(1，2，…，n)T，于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数。
解析 本题主要考查含参数的齐次线性方程组的解法，以及其解的判定。
①齐次线性方程组解的判定：当R(A)=r＜n时，Ax=0有非零解；当R(A)=r=n时，Ax=0只有零解。
②齐次线性方程组解的结构：设η1，η2，…，ηs为齐次线性方程组Ax=0的一组线性无关解，如果方程组Ax=0任意一个解均可表示为η1，η2，…，ηs的线性组合，则称η1，η2，…，ηs为方程组Ax=0的一个基础解系。
另外，对于含有参数的齐次线性方程组的求解，初等变换法是最常用的方法，不论方程的个数与未知数的个数是否相同，均可使用此法。
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考研数学二

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