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  3. 设常数1＜a＜e1/e，x1=a，xn=axn-1(n=2，3，…)，证明当n→∞时，数列{xn}极限存在．

设常数1＜a＜e1/e，x1=a，xn=axn-1(n=2，3，…)，证明当n→∞时，数列{xn}极限存在．

admin2021-02-25  118
问题 设常数1＜a＜e1/e，x1=a，xn=axn-1(n=2，3，…)，证明当n→∞时，数列{xn}极限存在．
选项
答案因为x1=a＞1，所以x2=ax1＞a=x1． 假设xn=axn-1＞xn-1，则 xn+1=axn＞axn-1=xn． 由归纳法，{xn}为单调增加数列． 又x1=a＜e，假设xn＜e，则 xn+1=axn＜ae＜(e1/e)e=e， 由归纳法知{xn}有上界． 由单调有界准则，数列{xn}极限存在．
解析
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考研数学二

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