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  3. 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。 证明xn存在，并求该极限；

设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。 证明xn存在，并求该极限；

admin2019-08-01  38
问题 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。
证明xn存在，并求该极限；
选项
答案先证明0＜xn＜π，n=1，2，3，…：当n=1时，结论显然成立； 假设当n=k时，结论成立，也即0＜xk＜π，此时有xk+1=sinxk＞0，同时也有sinxk≤1＜π， 因此，0＜xk+1＜π。由数学归纳法可知，0＜xn＜π，n=1，2，3，…。 再证明xn＞xn+1，由于xn＞0，可知xn+1=sinxn＜xn，从而{xn}是单调递减的。 由单调有界收敛定理可知，极限[*]xn存在。令[*]xn=a，在等式xn+1=sinxn两端同时令n→∞可得a=sina，解得a=0，也即[*]xn=0。
解析
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考研数学二

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