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设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。 证明xn存在,并求该极限;
设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。 证明xn存在,并求该极限;
admin
2019-08-01
46
问题
设数列{x
n
}满足0<x
1
<π,x
n+1
=sinx
n
(n=1,2,…)。
证明
x
n
存在,并求该极限;
选项
答案
先证明0<x
n
<π,n=1,2,3,…:当n=1时,结论显然成立; 假设当n=k时,结论成立,也即0<x
k
<π,此时有x
k+1
=sinx
k
>0,同时也有sinx
k
≤1<π, 因此,0<x
k+1
<π。由数学归纳法可知,0<x
n
<π,n=1,2,3,…。 再证明x
n
>x
n+1
,由于x
n
>0,可知x
n+1
=sinx
n
<x
n
,从而{x
n
}是单调递减的。 由单调有界收敛定理可知,极限[*]x
n
存在。令[*]x
n
=a,在等式x
n+1
=sinx
n
两端同时令n→∞可得a=sina,解得a=0,也即[*]x
n
=0。
解析
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0
考研数学二
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