2. 考研
  3. 求下列可降阶的高阶微分方程的通解． (1)x2y”=(y’)2+2xy’； (2)(1+x)y”+y’=ln(x+1)； (3)1+yy”+(y’)2=0； (4)y”=1+(y’)2．

求下列可降阶的高阶微分方程的通解． (1)x2y”=(y’)2+2xy’； (2)(1+x)y”+y’=ln(x+1)； (3)1+yy”+(y’)2=0； (4)y”=1+(y’)2．

admin2016-01-11  161
问题 求下列可降阶的高阶微分方程的通解．
(1)x2y”=(y’)2+2xy’；
(2)(1+x)y”+y’=ln(x+1)；
(3)1+yy”+(y’)2=0；
(4)y”=1+(y’)2．
选项
答案(1)方程中不显含y，故令y’=p，则[*]代入原方程，原方程变形为 [*] 即[*] 此方程为伯努利方程，再令[*]则有 [*] (2)令y’]p，则y”=p’，原方程化为 (x+1)p’+p=ln(x+1)， [*] 分离变量并积分，原方程通解为 y=(x+C1)ln(x+1)-2x+C2． (3)令p=y’，方程中不显含x，故[*]原方程化为 [*] (4)令p=y’，则原方程化为p’=1+p2，即[*]，积分得arctan p=x+C1，于是P=y’=tan(x+C1)，积分得原方程的通解为y=一ln|cos(x+C1)|+C2．
解析
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考研数学二

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