求下列可降阶的高阶微分方程的通解. (1)x2y”=(y’)2+2xy’; (2)(1+x)y”+y’=ln(x+1); (3)1+yy”+(y’)2=0; (4)y”=1+(y’)2.

admin2016-01-11  125

问题 求下列可降阶的高阶微分方程的通解.
(1)x2y”=(y’)2+2xy’;
(2)(1+x)y”+y’=ln(x+1);
(3)1+yy”+(y’)2=0;
(4)y”=1+(y’)2

选项

答案(1)方程中不显含y,故令y’=p,则[*]代入原方程,原方程变形为 [*] 即[*] 此方程为伯努利方程,再令[*]则有 [*] (2)令y’]p,则y”=p’,原方程化为 (x+1)p’+p=ln(x+1), [*] 分离变量并积分,原方程通解为 y=(x+C1)ln(x+1)-2x+C2. (3)令p=y’,方程中不显含x,故[*]原方程化为 [*] (4)令p=y’,则原方程化为p’=1+p2,即[*],积分得arctan p=x+C1,于是P=y’=tan(x+C1),积分得原方程的通解为y=一ln|cos(x+C1)|+C2

解析
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