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求一条凹曲线,已知其上任意一点处的曲率其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角(cosα>0),且该曲线在点(1,1)处的切线为水平方向.
求一条凹曲线,已知其上任意一点处的曲率其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角(cosα>0),且该曲线在点(1,1)处的切线为水平方向.
admin
2018-09-25
58
问题
求一条凹曲线,已知其上任意一点处的曲率
其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角(cosα>0),且该曲线在点(1,1)处的切线为水平方向.
选项
答案
由曲率计算公式及曲线为凹知, [*] 因为α为曲线在相应点的切线的倾斜角,且cosα>0,所以 [*] 整理得微分方程2y
2
y’’=[1+(y’)
2
]
2
. 此为缺x的可降阶二阶方程.令 [*] 代入上述微分方程,化简为 [*] 解得y
2
=(p+1)+y(p
2
+1)C
2
.由于曲线在点(1,1)处切线水平,故y(1)=1,y’(1)=0.于是有 1=1+C
1
,C
1
=0.故得y=p
2
+1,即 [*] 由于曲线是凹的,y=1不是解,再将 [*] 分离变量后积分得 [*] 由y(1)=1,所以C
2
=-1,得 [*] 化简得 4(y-1)=(x-1)
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6cg4777K
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考研数学一
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