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已知向量组(Ⅰ)α1=,若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价,求a的取值,并将β3用α1,α2,α3线性表示.
已知向量组(Ⅰ)α1=,若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价,求a的取值,并将β3用α1,α2,α3线性表示.
admin
2019-03-13
63
问题
已知向量组(Ⅰ)α
1
=
,若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价,求a的取值,并将β
3
用α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
由等价的定义可知β
1
,β
2
,β
3
都能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则有 r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
) 对(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)作初等行变换可得: (α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=[*] 当a= —1时,有r(α
1
,α
2
,α
3
)<r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
); 当a=1,则r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=2 可知a≠1且a≠—1时,此时r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=3 则由a=1或者a≠1且a≠—1时,β
1
,β
2
,β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. 此时,要保证α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示, 对(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)作初等行变换可得: [*] 当a=1时,有r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=2 可知当a≠1且a≠—1时,此时r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
)=3 此时,α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示, 综上所述:当a= —1时,向量组α
1
,α
2
,α
3
与向量组β
1
,β
2
,β
3
可相互线性表示. (α
1
,α
2
,α
3
,β
3
)→[*] 当a≠1时,则β
3
=α
1
—α
2
+α
3
. (α
1
,α
2
,α
3
,β
3
)→[*] 当a=1时, 基础解系为[*],则β
3
=(3—2k)α
1
+(k—2)α
2
+kα
3
.
解析
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