已知向量组(Ⅰ)α1=,若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价,求a的取值,并将β3用α1,α2,α3线性表示.

admin2019-03-13  42

问题 已知向量组(Ⅰ)α1=,若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价,求a的取值,并将β3用α1,α2,α3线性表示.

选项

答案由等价的定义可知β1,β2,β3都能由α1,α2,α3线性表示,则有 r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3) 对(α1,α2,α3,β1,β2,β3)作初等行变换可得: (α1,α2,α3,β1,β2,β3)=[*] 当a= —1时,有r(α1,α2,α3)<r(α1,α2,α3,β1,β2,β3); 当a=1,则r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=2 可知a≠1且a≠—1时,此时r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=3 则由a=1或者a≠1且a≠—1时,β1,β2,β3可由α1,α2,α3线性表示. 此时,要保证α1,α2,α3可由β1,β2,β3线性表示, 对(α1,α2,α3,β1,β2,β3)作初等行变换可得: [*] 当a=1时,有r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=2 可知当a≠1且a≠—1时,此时r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=3 此时,α1,α2,α3可由β1,β2,β3线性表示, 综上所述:当a= —1时,向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3可相互线性表示. (α1,α2,α3,β3)→[*] 当a≠1时,则β31—α23. (α1,α2,α3,β3)→[*] 当a=1时, 基础解系为[*],则β3=(3—2k)α1+(k—2)α2+kα3

解析
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