设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f’’(x)＞0，证明：

admin2018-09-25 25

问题设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f’’(x)＞0，证明：

选项

答案先证左边． [*] 其中[*]由于f’’(x)＞0，所以f’(x)严格单调增加，从而 [*] 于是φ’(x)＜0，所以x＞a时φ(x)＜0，有φ(b)＜0，左边证毕．再证右边．令ψ(x)=∫_a^xf(t)dt－[*](x－a)[f(a)+f(x)]，有ψ(a)=0， [*] 其中a＜η＜x．由于f’’(x)＞0，所以f’(η)＜f’(x)，从而ψ’(x)＜0．于是当x＞a时，ψ(x)＜0，故ψ(b)＜0．证毕．

解析

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考研数学一

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证明
设f(x)在(a，b)内可导，证明：x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f′(x)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f′(x0)(x－x0)＞f(x)．(*)
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