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设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f’’(x)>0,证明:
设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f’’(x)>0,证明:
admin
2018-09-25
24
问题
设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f’’(x)>0,证明:
选项
答案
先证左边. [*] 其中[*]由于f’’(x)>0,所以f’(x)严格单调增加,从而 [*] 于是φ’(x)<0,所以x>a时φ(x)<0,有φ(b)<0,左边证毕. 再证右边.令ψ(x)=∫
a
x
f(t)dt-[*](x-a)[f(a)+f(x)],有ψ(a)=0, [*] 其中a<η<x.由于f’’(x)>0,所以f’(η)<f’(x),从而ψ’(x)<0.于是当x>a时,ψ(x)<0, 故ψ(b)<0.证毕.
解析
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考研数学一
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