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  3. 设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )

设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )

admin2021-01-19  30
问题 设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有(    )
选项 A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。
B、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关。
C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关。
D、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关。
答案A
解析 方法一：由题知，α1，α2，α3，β2线性无关，α1，α2，α3，β1线性相关，则存在k1，k2，k3使β1=k1α1+k2α2+k3α3，于是通过列初等变换有(α1，α2，α3，kβ1+β2)→(α1，α2，α3，β2)。因此
r(α1，α2，α3，kβ1+β2)=r(α1，α2，α3，β2)=4，故α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选A。
方法二：取k=0，由条件知向量组α1，α2，α3，β2线性无关，α1，α2，α3，β1线性相关，所以应该排除B，C。
取k=1，因β1可由α1，α2，α3线性表出，β2不能由α1，α2，α3线性表出，所以α1，α2，α3，β1+β2线性无关，因而可排除D。故答案选A。
方法三：对任意常数k，向量组α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。用反证法，若α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关，因已知α1，α2，α3线性无关，故kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表出。即存在常数λ1，λ2，λ3，使得kβ1+β2=λ1α1+λ2α2+λ3α3。
又已知β1可由α1，α2，α3线性表出，即存在常数l1，l2，l3，使得β1=l1α1+l2α2+l3α3代入上式，得
kβ1+β2=k(l1α1+l2α2+l3α3)+β2=λ1α1+λ2α2+λ3α3
β2=(λ1一kl1)α1+(λ2一kl2)α2+(λ3一kl3)α3。
与β2不能由α1，α2，α3线性表出矛盾。故向量组α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选A。
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考研数学二

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