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设向量组,α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数k,必有( )
设向量组,α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数k,必有( )
admin
2021-01-19
47
问题
设向量组,α
1
,α
2
,α
3
线性无关,向量β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,而向量β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则对于任意常数k,必有( )
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关。
B、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性相关。
C、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性无关。
D、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性相关。
答案
A
解析
方法一:由题知,α
1
,α
2
,α
3
,β
2
线性无关,α
1
,α
2
,α
3
,β
1
线性相关,则存在k
1
,k
2
,k
3
使β
1
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
,于是通过列初等变换有(α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
)→(α
1
,α
2
,α
3
,β
2
)。因此
r(α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,β
2
)=4,故α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关,选A。
方法二:取k=0,由条件知向量组α
1
,α
2
,α
3
,β
2
线性无关,α
1
,α
2
,α
3
,β
1
线性相关,所以应该排除B,C。
取k=1,因β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,所以α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+β
2
线性无关,因而可排除D。故答案选A。
方法三:对任意常数k,向量组α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关。用反证法,若α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性相关,因已知α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故kβ
1
+β
2
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出。即存在常数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得kβ
1
+β
2
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
。
又已知β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,即存在常数l
1
,l
2
,l
3
,使得β
1
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
代入上式,得
kβ
1
+β
2
=k(l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
)+β
2
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
β
2
=(λ
1
一kl
1
)α
1
+(λ
2
一kl
2
)α
2
+(λ
3
一kl
3
)α
3
。
与β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出矛盾。故向量组α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关,选A。
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考研数学二
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