求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上的最大值和最小值。

admin2019-06-29 74

问题求函数f(x，y)=x²+xy+y²在闭区域D={(x，y)｜x²+y²≤1}上的最大值和最小值。

选项

答案由于所给的区域D是闭区域(包括边界)，故属于混合型的情况。先考虑函数f(x，y)在区域D内部{(x，y)｜x²+y²＜1}的极值，这属于无条件极值，解线性方程组 [*] 得 x=0，y=0。在(0，0)点，有 f”_xx=2＞0，f”_xy=1，f”_yy=2，因为 f”_xxf”_yy-f”_yy＞0，所以(0，0)点是函数的极小值点，极小值为f(0，0)=0。再考虑函数f(x，y)在区域D的边界{(x，y)｜x²+y²=1}上的极值，这是条件极值问题，作拉格朗日函数 L(x，y，t)=x²+xy+y²-t(x²+y²-1)，求偏导得方程组 [*] 将第一式乘以x，第二式乘以y然后相加，结合第三式得到 f(x，y)=t(x²+y²)=t。由x²+y²=1可知，二元一次方程组[*] 有非零解，故系数行列式等于零，即 4t²-8t+3=0，解得[*]。由于连续函数在闭区间上必可取到最大值和最小值，故f(x，y)在边界上的最大值为[*]，最小值为[*]。综上所述，f(x，y)在闭区域D上的最大值为[*]，最小值为0。

解析

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考研数学二

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求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上的最大值和最小值。

考研数学二

将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．

设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

设矩阵，且方程组Ax=β无解。求a的值；

设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(一1，一3，5，1)T，α3=(3，2，一1，p+2)T，α4=(一2，一6，10，p)T。P为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4线性表出；

矩阵相似的充分必要条件为()

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1／3。证明：存在ξ∈(0，1／2)，η∈(1／2，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。

利用代换y=u／cosx将方程y"cosx－2y’sinx+3ysinx=ex化简，并求出原方程的通解。

求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)。

设函数f(x)在x=1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)-2ex｜≤(x-1)2，研究函数f(x)在x=1处的可导性．

设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x0)2)(x→x0)．

氨基苷类抗生素不具有的药理作用是

[2007年，第18题]微分方程y’’-4y=4的通解是：(C1，C2为任意常数)()。

在其他条件均相同的情况下，关于岩溶发育程度与地层岩性关系的下列说法中，()是正确的。

在计算某建设项目内部收益率时，当i＝14%，净现值为800万元；当i＝18%，净现值为-200万元。则该项目内部收益率为()。

下列合同中存在受益人的是(　　)。

下列不属于温室气体的是()。

行政赔偿程序和司法赔偿程序的区别在于()。

在“凡尔赛体系”中丧失领土和属地最多的国家是（）。

下列属于探究活动为主的教学方法是()。

只能在建立它的模块中使用的变量为()。

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设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

设矩阵，且方程组Ax=β无解。求a的值；

设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(一1，一3，5，1)T，α3=(3，2，一1，p+2)T，α4=(一2，一6，10，p)T。P为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4线性表出；

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在计算某建设项目内部收益率时，当i＝14%，净现值为800万元；当i＝18%，净现值为-200万元。则该项目内部收益率为()。

下列合同中存在受益人的是( )。

下列不属于温室气体的是()。

行政赔偿程序和司法赔偿程序的区别在于()。

在“凡尔赛体系”中丧失领土和属地最多的国家是（）。

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只能在建立它的模块中使用的变量为()。

下列合同中存在受益人的是(　　)。