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  3. 求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上的最大值和最小值。

求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上的最大值和最小值。

admin2019-06-29  52
问题 求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上的最大值和最小值。
选项
答案由于所给的区域D是闭区域(包括边界)，故属于混合型的情况。 先考虑函数f(x，y)在区域D内部{(x，y)｜x2+y2＜1}的极值，这属于无条件极值， 解线性方程组 [*] 得 x=0，y=0。 在(0，0)点，有 f”xx=2＞0，f”xy=1，f”yy=2， 因为 f”xxf”yy-f”yy＞0， 所以(0，0)点是函数的极小值点，极小值为f(0，0)=0。 再考虑函数f(x，y)在区域D的边界{(x，y)｜x2+y2=1}上的极值，这是条件极值问题，作拉格朗日函数 L(x，y，t)=x2+xy+y2-t(x2+y2-1)， 求偏导得方程组 [*] 将第一式乘以x，第二式乘以y然后相加，结合第三式得到 f(x，y)=t(x2+y2)=t。 由x2+y2=1可知，二元一次方程组[*] 有非零解，故系数行列式等于零，即 4t2-8t+3=0， 解得[*]。 由于连续函数在闭区间上必可取到最大值和最小值，故f(x，y)在边界上的最大值为[*]，最小值为[*]。 综上所述，f(x，y)在闭区域D上的最大值为[*]，最小值为0。
解析
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考研数学二

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