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求函数f(x,y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。
求函数f(x,y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。
admin
2019-06-29
56
问题
求函数f(x,y)=x
2
+xy+y
2
在闭区域D={(x,y)|x
2
+y
2
≤1}上的最大值和最小值。
选项
答案
由于所给的区域D是闭区域(包括边界),故属于混合型的情况。 先考虑函数f(x,y)在区域D内部{(x,y)|x
2
+y
2
<1}的极值,这属于无条件极值, 解线性方程组 [*] 得 x=0,y=0。 在(0,0)点,有 f”
xx
=2>0,f”
xy
=1,f”
yy
=2, 因为 f”
xx
f”
yy
-f”
yy
>0, 所以(0,0)点是函数的极小值点,极小值为f(0,0)=0。 再考虑函数f(x,y)在区域D的边界{(x,y)|x
2
+y
2
=1}上的极值,这是条件极值问题,作拉格朗日函数 L(x,y,t)=x
2
+xy+y
2
-t(x
2
+y
2
-1), 求偏导得方程组 [*] 将第一式乘以x,第二式乘以y然后相加,结合第三式得到 f(x,y)=t(x
2
+y
2
)=t。 由x
2
+y
2
=1可知,二元一次方程组[*] 有非零解,故系数行列式等于零,即 4t
2
-8t+3=0, 解得[*]。 由于连续函数在闭区间上必可取到最大值和最小值,故f(x,y)在边界上的最大值为[*],最小值为[*]。 综上所述,f(x,y)在闭区域D上的最大值为[*],最小值为0。
解析
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考研数学二
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