求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上的最大值和最小值。

admin2019-06-29 86

问题求函数f(x，y)=x²+xy+y²在闭区域D={(x，y)｜x²+y²≤1}上的最大值和最小值。

选项

答案由于所给的区域D是闭区域(包括边界)，故属于混合型的情况。先考虑函数f(x，y)在区域D内部{(x，y)｜x²+y²＜1}的极值，这属于无条件极值，解线性方程组 [*] 得 x=0，y=0。在(0，0)点，有 f”_xx=2＞0，f”_xy=1，f”_yy=2，因为 f”_xxf”_yy-f”_yy＞0，所以(0，0)点是函数的极小值点，极小值为f(0，0)=0。再考虑函数f(x，y)在区域D的边界{(x，y)｜x²+y²=1}上的极值，这是条件极值问题，作拉格朗日函数 L(x，y，t)=x²+xy+y²-t(x²+y²-1)，求偏导得方程组 [*] 将第一式乘以x，第二式乘以y然后相加，结合第三式得到 f(x，y)=t(x²+y²)=t。由x²+y²=1可知，二元一次方程组[*] 有非零解，故系数行列式等于零，即 4t²-8t+3=0，解得[*]。由于连续函数在闭区间上必可取到最大值和最小值，故f(x，y)在边界上的最大值为[*]，最小值为[*]。综上所述，f(x，y)在闭区域D上的最大值为[*]，最小值为0。

解析

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考研数学二

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