已知y1=e3x—xe2x，y2=ex—xe2x，y3= —xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为________。

admin2018-12-29 50

问题已知y₁=e^3x—xe^2x，y₂=e^x—xe^2x，y₃= —xe^2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为________。

选项

答案y=C₁e^3x+C₂e^x—xe^2x，C₁，C₂为任意常数

解析显然y₁—y₃=e^3x和y₂—y₃=e^x是对应的二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解。且y^*= —xe^2x是非齐次微分方程的一个特解。
由解的结构定理，该方程的通解为y=C₁e^3x+C₂e^x—xe^2x，C₁，C₂为任意常数。

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