设A是n阶矩阵,证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是|A|=0.

admin2016-10-26  44

问题 设A是n阶矩阵,证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是|A|=0.

选项

答案必要性.对零矩阵及矩阵B按列分块,设B=(β1,β2…,βn),那么 AB=A(β1,β2,…,βn)=(Aβ1,Aβ2…,Aβn)=(0,0,…,0)=0. 于是Aβi=0(j=1,2,…,n),即βi是齐次方程组Ax=0的解. 由B≠0,知Ax=0有非0解.故|A|=0. 充分性.因为|A|=0,所以齐次线性方程组Ax=0有非0解.设β是Ax=0的一个非零解, 那么,令B=(β,0,0,…,0),则B≠0.而AB=0.

解析
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