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设α=(a1,2,…,an)T是Rn中的非零向量,方阵A=ααT.(1)证明:对正整数m.存在常数t.使Am=tm-1A,并求出t;(2)求一个可逆矩阵P,使P-1AP=A为对角矩阵.
设α=(a1,2,…,an)T是Rn中的非零向量,方阵A=ααT.(1)证明:对正整数m.存在常数t.使Am=tm-1A,并求出t;(2)求一个可逆矩阵P,使P-1AP=A为对角矩阵.
admin
2019-02-23
45
问题
设α=(a
1
,
2
,…,a
n
)
T
是R
n
中的非零向量,方阵A=αα
T
.(1)证明:对正整数m.存在常数t.使A
m
=t
m-1
A,并求出t;(2)求一个可逆矩阵P,使P
-1
AP=A为对角矩阵.
选项
答案
(1)A
m
=(αα
T
)(αα
T
)…(αα
T
)=α(α
T
α)
m-1
α
T
=(α
T
α)
m-1
(αα
T
)=([*]a
i
2
)
m-1
A=t
m-1
A,其中t=[*]a
i
2
.(2)A≠O,[*]≤秩(A)=秩(αα
T
)≤秩(α)=1,[*]秩(A)=1,因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩,故A只有一个非零特征值,而有n-1重特征值λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0.设a
1
≠0,由0E-A→A=[*],得属于特征值0的特征值可取为:ξ
1
=[*].由特征值之和等于A的主对角线元素之和,即0+0+…+0+λ
n
=[*]a
1
2
,得λ
n
=[*]a
i
2
=α
T
α,由Aα=(αα
T
)α=α(α
T
α)=αλ
n
=λ
n
α及α≠0,得与λ
n
对应特征向量为α,令P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-1
,α],则有P
-1
AP=diag(0,0,…,0,[*]a
i
2
)为对角阵.
解析
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