2. 考研
  3. 设α=(a1，2，…，an)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT．(1)证明：对正整数m．存在常数t．使Am=tm-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．

设α=(a1，2，…，an)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT．(1)证明：对正整数m．存在常数t．使Am=tm-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．

admin2019-02-23  23
问题 设α=(a1，2，…，an)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT．(1)证明：对正整数m．存在常数t．使Am=tm-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．
选项
答案(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m-1αT=(αTα)m-1(ααT)=([*]ai2)m-1A=tm-1A，其中t=[*]ai2．(2)A≠O，[*]≤秩(A)=秩(ααT)≤秩(α)=1，[*]秩(A)=1，因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩，故A只有一个非零特征值，而有n-1重特征值λ1=λ2=…=λn-1=0．设a1≠0，由0E-A→A=[*]，得属于特征值0的特征值可取为：ξ1=[*]．由特征值之和等于A的主对角线元素之和，即0+0+…+0+λn=[*]a12，得λn=[*]ai2=αTα，由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλn=λnα及α≠0，得与λn对应特征向量为α，令P=[ξ1，ξ2，…，ξn-1，α]，则有P-1AP=diag(0，0，…，0，[*]ai2)为对角阵．
解析
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考研数学二

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