过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

admin2018-12-19 135

问题过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

选项

答案设切点坐标为A(x₀，lnx₀)，斜率为[*]，因此该点处切线方程为 y—lnx₀=[*](x—x₀)，又因为该切线过B(0，1)，所以x₀=e²，故切线方程为 [*] 切线与x轴交点为(1，0)。因此直线AB的方程为 [*] 区域的面积为 [*]=e²+1—(e²—1)=2。旋转一周所围成的体积为 v=v₁—v₂=∫₁^e²π(lnx)²dx—[*] =(2e²一2)π一[*]

解析

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