过点(0,1)作曲线L:y=lnx的切线,切点为A,L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

admin2018-12-19  59

问题 过点(0,1)作曲线L:y=lnx的切线,切点为A,L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

选项

答案设切点坐标为A(x0,lnx0),斜率为[*],因此该点处切线方程为 y—lnx0=[*](x—x0), 又因为该切线过B(0,1),所以x0=e2,故切线方程为 [*] 切线与x轴交点为(1,0)。因此直线AB的方程为 [*] 区域的面积为 [*]=e2+1—(e2—1)=2。 旋转一周所围成的体积为 v=v1—v2=∫1e2π(lnx)2dx—[*] =(2e2一2)π一[*]

解析
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