2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A2． (2)P-1AP． (3)AT． (4)． α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A2． (2)P-1AP． (3)AT． (4)． α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

admin2016-03-05  47
问题 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中
(1)A2．
(2)P-1AP．
(3)AT．
(4)．
α肯定是其特征向量的矩阵共有(    )
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案B
解析 由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，α≠0，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量．
又知α必是矩阵属于特征值的特征向量．关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为 (P一1AP)(P一1Aα)=P一1Aα=λP一1α，按定义，矩阵P一1AP的特征向量是P一1α．因为P一1α与α不一定共线，因此α不一定是P一1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．线性方程组(λE—A)x=0与(λE一AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量．所以应选B．
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考研数学二

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