设α1=(6，-1，1)T与α2=(-7，4，2)T是线性方程组的两个解，则此方程组的通解是________。

admin2017-09-28 47

问题设α₁=(6，-1，1)^T与α₂=(-7，4，2)^T是线性方程组

的两个解，则此方程组的通解是________。

选项

答案(6，-1，1)^T+k(13，-5，-1)^T，k为任意常数

解析一方面因为α₁，α₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，所以一定有r(A)=

＜3。另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式

所以一定有r(A)≥2，因此必有r(A)=

=2。
由n-r(A)=3-2=1可知，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知
α₁-α₂=(6，-1，1)^T(-7，4，2)^T=(13，-5，-1)^T
是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，则方程组的通解为
x=(6，-1，1)^T+k(13，-5，-1)^T，k为任意常数。

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