对右半空间x>0内的任意光滑有侧封闭曲面∑,有xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0,其中f(x)在(0,+∞)内具有一阶连续的偏导数,且f(0+0)=1,求f(x).

admin2018-05-23  70

问题 对右半空间x>0内的任意光滑有侧封闭曲面∑,有xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0,其中f(x)在(0,+∞)内具有一阶连续的偏导数,且f(0+0)=1,求f(x).

选项

答案由高斯公式得 [*]xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=±[*][xf(x)+(1一x)f(x)一e2x]dν=0, 当曲面∑法向量指向外侧时取正号,当曲面∑的法向量指向内侧时取负号. 由∑的任意性得 xf(x)+(1一x)f(x)一e2x=0(x>O),或者f(x)+[*], 则f(x[*] 因为[*](e2x+Cex)=0,从而C=-1, 于是f(x)=[*](ex-1).

解析
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