[2004年]设有齐次线性方程组 n≥2，试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

admin2019-04-08 17

问题 [2004年]设有齐次线性方程组

n≥2，试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

选项

答案利用初等行变换求之． [*] (1)当a=0时，秩(A₁)=秩（A）=1，方程组有非零解，由 A₂=[*] 即知其基础解系含n一1个解向量α₁，α₂，…，α_n-1，且 α₁=[一1，1，0，…，0]^T，α₂=[一1，0，1，…，0]^T，…，α_n-1=[一1，0，…，0，1]^T．方程组的通解为 x=k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1， ① 其中k₁，k₂，…，k_n-1为任意常数． (2)当a≠0时，对A₁作初等行变换化成含最高阶单位矩阵的矩阵： [*] 当a+n(n+1)／2=0即a=一n(n+1)／2时，秩（A）=n一1＜n，方程组有非零解，其基础解系只含一个解向量β=[1，2，3，…，n]^T，原方程的通解为 x=kβ，其中k为任意常数． ②

解析

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考研数学一

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[2004年]设有齐次线性方程组 n≥2，试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

考研数学一

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B。

设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a－1有公共解，求a的值及所有公共解。

设A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α3，α5线性无关，且α2=3α1一α3一α5，α4=2α1+α3+6α5，求方程组AX=0的通解．

设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。

(1)D=｜AT｜=(a4一a1)(a4一a2)(a4一a3)(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)，若ai≠aj(i≠j)，则D≠0，方程组有唯一解，又D1=D2=D3=0，D4=D，所以方程组的唯一解为X=(0，0，0，1)T；(2)当a1=

A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=－1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=－1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

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