[2004年]设有齐次线性方程组 n≥2，试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

admin2019-04-08 54

问题 [2004年]设有齐次线性方程组

n≥2，试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

选项

答案利用初等行变换求之． [*] (1)当a=0时，秩(A₁)=秩（A）=1，方程组有非零解，由 A₂=[*] 即知其基础解系含n一1个解向量α₁，α₂，…，α_n-1，且 α₁=[一1，1，0，…，0]^T，α₂=[一1，0，1，…，0]^T，…，α_n-1=[一1，0，…，0，1]^T．方程组的通解为 x=k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1， ① 其中k₁，k₂，…，k_n-1为任意常数． (2)当a≠0时，对A₁作初等行变换化成含最高阶单位矩阵的矩阵： [*] 当a+n(n+1)／2=0即a=一n(n+1)／2时，秩（A）=n一1＜n，方程组有非零解，其基础解系只含一个解向量β=[1，2，3，…，n]^T，原方程的通解为 x=kβ，其中k为任意常数． ②

解析

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考研数学一

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[2004年]设有齐次线性方程组 n≥2，试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

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