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[2004年]设有齐次线性方程组 n≥2,试问a取何值时,该方程组有非零解?并求出其通解.
[2004年]设有齐次线性方程组 n≥2,试问a取何值时,该方程组有非零解?并求出其通解.
admin
2019-04-08
34
问题
[2004年]设有齐次线性方程组
n≥2,试问a取何值时,该方程组有非零解?并求出其通解.
选项
答案
利用初等行变换求之. [*] (1)当a=0时,秩(A
1
)=秩(A)=1,方程组有非零解,由 A
2
=[*] 即知其基础解系含n一1个解向量α
1
,α
2
,…,α
n-1
,且 α
1
=[一1,1,0,…,0]
T
,α
2
=[一1,0,1,…,0]
T
,…,α
n-1
=[一1,0,…,0,1]
T
. 方程组的通解为 x=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
, ① 其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
为任意常数. (2)当a≠0时,对A
1
作初等行变换化成含最高阶单位矩阵的矩阵: [*] 当a+n(n+1)/2=0即a=一n(n+1)/2时,秩(A)=n一1<n,方程组有非零解,其基础解系只含一个解向量β=[1,2,3,…,n]
T
,原方程的通解为 x=kβ, 其中k为任意常数. ②
解析
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考研数学一
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