函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，f(x)不恒等于1，下列给出的函数哪些必为奇函数？哪些必为偶函数？ (1)f(x2) (2)xf(x2) (3)x2f(x) (4)f2(x) (5)f(｜x｜)

admin2011-12-29 71

问题函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，f(x)不恒等于1，下列给出的函数哪些必为奇函数？哪些必为偶函数？
(1)f(x²)       (2)xf(x²)
(3)x²f(x)       (4)f²(x)
(5)f(｜x｜)                (6)｜f(x)｜
(7)f(x)＋f(－x)             (8)f(x)－f(－x)

选项

答案(1)设g(x)＝f(x²)，则g(－x)＝f((－x)²)＝f(x²)＝g(x) ∴f(x²)必为偶函数. (2)设g(x)＝xf(x²)，则g(－x)＝(－x)f[(－x)²]＝－xf(x²)＝－g(x) ∴xf(x²)必为奇函数. (3)设g(x)＝x²f(x)，则g(－x)＝(－x)²f(－x)＝x²f(－x) ∵f(－x)奇偶性不能确定 ∴x²f(x)奇偶性不定. (4)设g(x)＝f²(x)，则g(－x)＝f²(－x)≠f²(x)且f²(x)≠－f²(x) ∴f²(x)奇偶性不定. (5)设g(x)＝f(｜x｜)，则g(－x)＝f(｜x｜)＝f(｜x｜)＝g(x) ∴f(｜ x ｜)必为偶函数． (6)设g(x)＝｜f(x)｜，则g(－x)＝｜ f(－x)｜≠｜f(x)｜且｜f(－x)｜≠－｜f(x)｜ ∴｜(x)｜奇偶性不定． (7)设g(x)=f(x)＋f(－x)，则 g(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝g(x) ∴f(x)＋f(－x)必偶函数． (8)设g(x)＝f(x)－f(－x)，则 g(－x)＝f(－x)－f[－(-x)]＝f(－x)－f(x)＝[f(x)－f(－(x))]＝－g(x) ∴f(x)－f(－x)必为奇函数．

解析

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