函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,f(x)不恒等于1,下列给出的函数哪些必为奇函数?哪些必为偶函数? (1)f(x2) (2)xf(x2) (3)x2f(x) (4)f2(x) (5)f(|x|)

admin2011-12-29  41

问题 函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,f(x)不恒等于1,下列给出的函数哪些必为奇函数?哪些必为偶函数?
(1)f(x2)          (2)xf(x2)
(3)x2f(x)         (4)f2(x)
(5)f(|x|)                  (6)|f(x)|
(7)f(x)+f(-x)              (8)f(x)-f(-x)

选项

答案(1)设g(x)=f(x2),则g(-x)=f((-x)2)=f(x2)=g(x) ∴f(x2)必为偶函数. (2)设g(x)=xf(x2),则g(-x)=(-x)f[(-x)2]=-xf(x2)=-g(x) ∴xf(x2)必为奇函数. (3)设g(x)=x2f(x),则g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(-x) ∵f(-x)奇偶性不能确定 ∴x2f(x)奇偶性不定. (4)设g(x)=f2(x),则g(-x)=f2(-x)≠f2(x)且f2(x)≠-f2(x) ∴f2(x)奇偶性不定. (5)设g(x)=f(|x|),则g(-x)=f(|x|)=f(|x|)=g(x) ∴f(| x |)必为偶函数. (6)设g(x)=|f(x)|,则g(-x)=| f(-x)|≠|f(x)|且|f(-x)|≠-|f(x)| ∴|(x)|奇偶性不定. (7)设g(x)=f(x)+f(-x),则 g(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(-x)+f(x)=g(x) ∴f(x)+f(-x)必偶函数. (8)设g(x)=f(x)-f(-x),则 g(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=[f(x)-f(-(x))]=-g(x) ∴f(x)-f(-x)必为奇函数.

解析
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