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(14)设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．
(14)设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．
admin
2021-01-19
59
问题
(14)设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．
选项
答案
[-2，2]
解析
f的矩阵为
A的特征多项式为
｜λE-A｜=
=λ
3
-(5+a
2
)λ+4-a
2
，
设A的特征值为λ
1
，λ
2
，λ
3
，则f经正交变换可化成标准形
f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
.
λ
1
，λ
2
，λ
3
中为负的个数即f的负惯性指数，且由特征值的性质知
λ
1
，λ
2
，λ
3
=det(A)=4-a
2
．
由于f既可取到正值、又可取到负值，所以λ
1
，λ
2
，λ
3
中至少有一个为正的，也至少有一个为负的．
λ
1
，λ
2
，λ
3
的符号只有下列3种可能：
(1)λ
1
，λ
2
，λ
3
=0，此时有λ
3
=0，λ
1,2
=
即f的正、负惯性指数都为1，符号题意．
(2)λ
1
，λ
2
，λ
3
＜0，此时λ
1
，λ
2
，λ
3
中有一个为负的，2个为正的(不可能3个都为负，否则与f可取到正值矛盾)，符号题意．
(3)λ
1
，λ
2
，λ
3
＞0，此时λ
1
，λ
2
，λ
3
中3个都为正的，或者2个为负的，1个为正的，都不符号题意．
综上可知，当且仅当λ
1
，λ
2
，λ
3
=4-a
2
≤0，即｜a｜=2时，符号题意．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Jk84777K
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