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  3. (14)设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．

(14)设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．

admin2021-01-19  80
问题 (14)设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．
选项
答案[-2，2]
解析 f的矩阵为

A的特征多项式为
｜λE-A｜==λ3-(5+a2)λ+4-a2，
设A的特征值为λ1，λ2，λ3，则f经正交变换可化成标准形
f=λ1y12+λ2y22+λ3y32.
λ1，λ2，λ3中为负的个数即f的负惯性指数，且由特征值的性质知
    λ1，λ2，λ3=det(A)=4-a2．
    由于f既可取到正值、又可取到负值，所以λ1，λ2，λ3中至少有一个为正的，也至少有一个为负的．
    λ1，λ2，λ3的符号只有下列3种可能：
(1)λ1，λ2，λ3=0，此时有λ3=0，λ1,2=即f的正、负惯性指数都为1，符号题意．
(2)λ1，λ2，λ3＜0，此时λ1，λ2，λ3中有一个为负的，2个为正的(不可能3个都为负，否则与f可取到正值矛盾)，符号题意．
(3)λ1，λ2，λ3＞0，此时λ1，λ2，λ3中3个都为正的，或者2个为负的，1个为正的，都不符号题意．
    综上可知，当且仅当λ1，λ2，λ3=4-a2≤0，即｜a｜=2时，符号题意．
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考研数学二

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