(14)设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．

admin2021-01-19 67

问题 (14)设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²-x₂²+2ax₁x₃+4x₂x₃的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．

选项

答案[-2，2]

解析 f的矩阵为

A的特征多项式为
｜λE-A｜=

=λ³-(5+a²)λ+4-a²，
设A的特征值为λ₁，λ₂，λ₃，则f经正交变换可化成标准形
f=λ₁y₁²+λ₂y₂²+λ₃y₃².
λ₁，λ₂，λ₃中为负的个数即f的负惯性指数，且由特征值的性质知
λ₁，λ₂，λ₃=det(A)=4-a²．
由于f既可取到正值、又可取到负值，所以λ₁，λ₂，λ₃中至少有一个为正的，也至少有一个为负的．
λ₁，λ₂，λ₃的符号只有下列3种可能：
(1)λ₁，λ₂，λ₃=0，此时有λ₃=0，λ_1,2=

即f的正、负惯性指数都为1，符号题意．
(2)λ₁，λ₂，λ₃＜0，此时λ₁，λ₂，λ₃中有一个为负的，2个为正的(不可能3个都为负，否则与f可取到正值矛盾)，符号题意．
(3)λ₁，λ₂，λ₃＞0，此时λ₁，λ₂，λ₃中3个都为正的，或者2个为负的，1个为正的，都不符号题意．
综上可知，当且仅当λ₁，λ₂，λ₃=4-a²≤0，即｜a｜=2时，符号题意．

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考研数学二

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