2. 考研
  3. (2008年)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝[α1，α2，α3]，求P-1AP．

(2008年)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝[α1，α2，α3]，求P-1AP．

admin2019-04-17  112
问题 (2008年)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3．
    (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；
    (Ⅱ)令P＝[α1，α2，α3]，求P-1AP．
选项
答案(Ⅰ)设存在一组常数k1，k2，k3，使得 k1α1＋k2α2＋k3α3＝0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα1＝－α1，Aα2＝α2， －k1α1(k2＋k3)α2＋k3α3＝0 ② ①一②，得 2k1α1－k3α2＝0 ③ 因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而由③式知k1＝k3＝0，代入①式得k2α2＝0，又由于α2≠0，所以k2＝0，故α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP＝A[α1，α2，α3]＝[Aα1，Aα2，Aα3] ＝[－α1，α2，α2＋α3] ＝[α1，α2，α3][*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P-1左乘上式两端，得 [*]
解析
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考研数学二

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