(2008年)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝[α1，α2，α3]，求P-1AP．

admin2019-04-17 115

问题 (2008年)设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃＝α₂＋α₃．
(Ⅰ)证明α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)令P＝[α₁，α₂，α₃]，求P^-1AP．

选项

答案(Ⅰ)设存在一组常数k₁，k₂，k₃，使得 k₁α₁＋k₂α₂＋k₃α₃＝0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα₁＝－α₁，Aα₂＝α₂，－k₁α₁(k₂＋k₃)α₂＋k₃α₃＝0 ② ①一②，得 2k₁α₁－k₃α₂＝0 ③ 因为α₁，α₂是A的属于不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而由③式知k₁＝k₃＝0，代入①式得k₂α₂＝0，又由于α₂≠0，所以k₂＝0，故α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP＝A[α₁，α₂，α₃]＝[Aα₁，Aα₂，Aα₃] ＝[－α₁，α₂，α₂＋α₃] ＝[α₁，α₂，α₃][*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P^-1左乘上式两端，得 [*]

解析

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考研数学二

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(2008年)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝[α1，α2，α3]，求P-1AP．

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