设L：y＝f(x)(x≥0)，且当x＞0时，f’(x)＞0，设P(x，y)为曲线L上任意一点，已知曲线过点P的切线在y轴上的截距与[0，x]上曲线L的长度之差等于1，且f(1)＝0， f’(1)＝0，求f(x)．

admin2021-03-10 80

问题设L：y＝f(x)(x≥0)，且当x＞0时，f’(x)＞0，设P(x，y)为曲线L上任意一点，
已知曲线过点P的切线在y轴上的截距与[0，x]上曲线L的长度之差等于1，且f(1)＝0， f’(1)＝0，求f(x)．

选项

答案过点P的曲线L的切线为Y－y＝y’(X－x)，令X＝0得切线在y轴上的截距为Y＝y－xy’，由题意得[*] 两边求导得[*] 令y’＝P，则[*] 积分得[*] 由y’(1)＝0得C₁＝0，从而有[*] 再由[*]得[*]，即[*] 解得[*] 由f(1)＝0得C₂＝[*] 故f(x)＝[*]

解析

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考研数学二

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