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设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x,y)的全微分. (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)求u(x,y)的一般表达式.
设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x,y)的全微分. (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)求u(x,y)的一般表达式.
admin
2021-10-02
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问题
设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式
[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy
为某二元函数u(x,y)的全微分.
(Ⅰ)求f(x);
(Ⅱ)求u(x,y)的一般表达式.
选项
答案
(Ⅰ)由题意知, du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy, 即 [*]=f(x)+x
2
y. 由于f(x)具有一阶连续导数,所以u的二阶混合偏导数连续,所以有 [*] 即有x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy, f(x)+f(x)=x. 连同已知f(0)=0,可求得f(x)=x一1+e
—x
. (Ⅱ)由(Ⅰ)知du=(xy
2
+y—ye
—x
)dx+(x一1+e
—x
+x
2
y)dy. 求u(x,y)有多种方法. 凑微分法. du=(xy
2
+y—ye
—x
)dx+(x—1+e
—x
+x
2
y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一ye
—x
dx+e
—x
dy)一dy =d[[*](xy)
2
+xy+ye
—x
一y], 所以u(x,y)=[*](xy)
2
+xy+y
—x
—y+C(C为任意常数).
解析
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考研数学三
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