设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x,y)的全微分. (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)求u(x,y)的一般表达式.

admin2021-10-02  78

问题 设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式
    [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
    为某二元函数u(x,y)的全微分.
    (Ⅰ)求f(x);
    (Ⅱ)求u(x,y)的一般表达式.

选项

答案(Ⅰ)由题意知, du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy, 即 [*]=f(x)+x2y. 由于f(x)具有一阶连续导数,所以u的二阶混合偏导数连续,所以有 [*] 即有x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy, f(x)+f(x)=x. 连同已知f(0)=0,可求得f(x)=x一1+e—x. (Ⅱ)由(Ⅰ)知du=(xy2+y—ye—x)dx+(x一1+e—x+x2y)dy. 求u(x,y)有多种方法. 凑微分法. du=(xy2+y—ye—x)dx+(x—1+e—x+x2y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一ye—xdx+e—xdy)一dy =d[[*](xy)2+xy+ye—x一y], 所以u(x,y)=[*](xy)2+xy+y—x—y+C(C为任意常数).

解析
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