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已知f’(x)=arctan(x一1)2 ,f(0)=0,则∫01f(x)dx=________.
已知f’(x)=arctan(x一1)2 ,f(0)=0,则∫01f(x)dx=________.
admin
2020-06-20
20
问题
已知f’(x)=arctan(x一1)
2
,f(0)=0,则∫
0
1
f(x)dx=________.
选项
答案
[*]
解析
利用题设将f(x)化为变限积分,从而将所求定积分化为二重积分求之.因
为被积函数的导数已知,也可直接用分部积分法求之.
f(x)=f(x)一f(0)=∫
0
x
f’(t)dt
=∫
0
x
arctan(t一1)
2
dt,
则 ∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
[∫
0
x
arctan(t一1)2dt]dx
=
arctan(t一1)
2
dtdx,
其中积分区域(见右图)为
D={(t,x)|0≤t≤x,0≤x≤1}.
交换上述二重积分的积分次序得到
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7Lx4777K
0
考研数学三
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