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  3. 已知f’(x)=arctan(x一1)2 ，f(0)=0，则∫01f(x)dx=________．

已知f’(x)=arctan(x一1)2 ，f(0)=0，则∫01f(x)dx=________．

admin2020-06-20  11
问题 已知f’(x)=arctan(x一1)2 ，f(0)=0，则∫01f(x)dx=________．
选项
答案[*]
解析 利用题设将f(x)化为变限积分，从而将所求定积分化为二重积分求之．因
为被积函数的导数已知，也可直接用分部积分法求之．
f(x)=f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt
=∫0xarctan(t一1)2dt，
则    ∫01f(x)dx=∫01[∫0xarctan(t一1)2dt]dx
=arctan(t一1)2dtdx，
其中积分区域(见右图)为
D={(t，x)|0≤t≤x，0≤x≤1}．

交换上述二重积分的积分次序得到
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考研数学三

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