设A,B为3阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-11为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=________.

admin2021-07-27  36

问题 设A,B为3阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-11为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=________.

选项

答案18

解析 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0,知λ=-2为A的一个特征值.由A~B知A和B有相同特征值,因此λ1=1,λ2=-1也是A的特征值.故A,B的特征值均为λ1=1,λ2=-1,λ3=-2.则有E+2B的特征值为1+2×1=3,1+2×(-1)=-1,1+2×(-2)=-3,从而|E+2B|=3×(-1)×(-3)=9,|A|=λ1λ2λ3=2,故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2×9=18.
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