设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3． (1)求A的特征值． (2)判断A是否相似于对角矩阵?

admin2019-01-23 77

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的3维列向量组，满足
Aα₁＝α₁＋2α₂＋2α₃，Aα₂＝2α₁＋α₂＋2α₃，Aα₃＝2α₁＋2α₂＋α₃．
(1)求A的特征值．
(2)判断A是否相似于对角矩阵?

选项

答案(1)用矩阵分解： A(α₁，α₂，α₃)＝(α₁＋2α₂＋2α₃，2α₁＋α₂＋2α₃，2α₁＋2α₂＋α₃)＝(α₁，α₂，α₃)B，这里B＝[*] 从α₁，α₂，α₃线性无关的条件知道，(α₁，α₂，α₃)是可逆矩阵．于是A相似于B． [*] [*]的秩为1，其特征值为0，0，6．得B的特征值为－1，－1，5．则A的特征值也为－1，－1，5． (2)B是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵．

解析

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考研数学一

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设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3． (1)求A的特征值． (2)判断A是否相似于对角矩阵?

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