设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.

admin2022-10-09  30

问题 设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.

选项

答案因为f’(x)在区间[0,1]上连续,所以f’(x)在区间[0,1]上取到最大值M和最小值m,对f(x)-f(0)=f’(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx,由m≤f’(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f’(c)dx≤M∫01xdx,即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M,由介值定理,存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.

解析
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