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设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.
设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx.
admin
2022-10-09
33
问题
设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫
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f(x)dx.
选项
答案
因为f’(x)在区间[0,1]上连续,所以f’(x)在区间[0,1]上取到最大值M和最小值m,对f(x)-f(0)=f’(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得∫
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1
f(x)dx=∫
0
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f’(c)xdx,由m≤f’(c)≤M得m∫
0
1
xdx≤∫
0
1
f’(c)dx≤M∫
0
1
xdx,即m≤2∫
0
1
f’(c)xdx≤M或m≤2∫
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f(x)dx≤M,由介值定理,存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=2∫
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f(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7OR4777K
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考研数学三
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