设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

admin2019-12-26  41

问题 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

选项

答案必要性.若BTAB为正定矩阵,则对任意的实n维列向量x≠0,有 xT(BTAB)x>0, 即 (Bx)TA(Bx)>0. 又A为正定矩阵,于是Bx≠0.因此齐次线性方程组Bx=0仅有零解,从而r(B)=n. 充分性.因(BTAB)T=BTATB=BTAB,故BTAB为对称矩阵.若r(B)=n,则齐次线性方程组Bx=0仅有零解.因此,对任意的n维实列向量x≠0,必有Bx≠0. 由已知,A为正定矩阵,故对Bx≠0,有 (Bx)TA(Bx)>0, xT(BTAB)x>0, 故BTAB为正定矩阵.

解析
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